昨天在食堂吃午饭时，我看那菜盘里有个茄子，赶紧问老板：“这茄子咋弄的？

是不是刚摘下来还没煮就就行？”老板头也不抬，一边擦着盘子一边说：“是啊，刚摘下来，没刷干净利落，少洗了把，直接下锅。”我听得直摇头，心里就想，这菜要是没洗干净利落，哪位吃啊？ 实际上啊，数学题里也有这种“没洗干净利落”的事儿，还特别逗。

比如今天有个数学竞赛题，问“从 1 到 100 的自然数里，有多少个既是 3 的倍数又是 5 的倍数？”我刚一开口，脑子里就蹦出了个好点子。 这就好比做菜，既要炒出 3 的倍数，又要炒出 5 的倍数，那就得找那些既“味重”又“味香”的食材。1 到 100 这百来个数字，就像一大锅炒菜料。我们要把 3 的倍数找出来，得有 3, 6, 9, 12, 15……这种节奏感强的数；再把 5 的倍数找出来，得有 5, 10, 15, 20……这种节奏感也强一点的数。 这时候就要用到容斥原理了。

哎呀，这原理听着挺玄乎，实际上好办点说，就是把两件事分别算一遍，然后减去重复算的，不就拿到真正做过两件事的数量了吗？咱们就用例子讲讲。 先算 3 的倍数。1 到 100 里，3 的倍数有 34 个。咱们回顾一下：1 到 10 里，3 的倍数有 3 个（3, 6, 9）；10 到 20 里，有 3 个；20 到 30 里，有 3 个……一直到 80 到 90 里，还是 3 个；最终 90 到 100 里，也就是 93, 96, 99，也是 3 个。加起来就是 34 个没错。 接着算 5 的倍数。同样的道理，1 到 10 里有 2 个（5, 10）；10 到 20 里有 2 个……80 到 90 里有 2 个；最终 90 到 100 里，有 5, 10, 15, 20, 25 这 5 个。加起来也是 25 个。 好，目前咱们把这两个数字加总一下：34 加 25，等于 59 个。但这 59 个数字里，有些数字既被算成了 3 的倍数，又被算成了 5 的倍数，故此被加了两次，这就相当于“洗了两次锅”要么“炒了两遍菜”，得赶紧减去一次，不然总数就虚高了。 这时候就要用到容斥原理的核心公式：总数等于 A 加上 B 减去 A 和 B 的交集。

哎呀，这就好比是你上周买了 3 个苹果，又买了 2 个苹果，最终你手上实际拥有的苹果数量就是 3 加 2 再减去重叠的那 1 个。 1 到 100 里，既是 3 的倍数又是 5 的倍数的数，实际上就是 15 的倍数。我们来看看 15 的倍数有多少个。1 到 10 里有 1 个（15）；10 到 20 里有 1 个（30）……80 到 90 里有 1 个（90）；最终 90 到 100 里，有 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 这 17 个。加起来就是 17 个。 故此我们这 59 个数字里，有 17 个数字被重复计算了一次，得把它们减掉。59 减去 17，等于 42。

故此，既是 3 的倍数又是 5 的倍数的数，一共有 42 个。 我想啊，这事儿是不是挺像做菜？有时候你做了两道菜，可别怪你菜做得“重”，有时候是两道菜里的某种元素，比如盐要么糖，不小心被重复加进去了，得赶紧减去一次。

这就是容斥原理嘛，把重复的“洗锅水”给倒掉，剩下的就是纯粹的“菜”。 实际上啊，生活中到处都是如此琢磨呢。

比如咱们买东西，有时候把两件商品都算进购物车，结局发快递的时候又算了一遍，那就要减去一次重复的了。

要么做统计报告，把甲班和乙班的学生人数加起来，要是两个人都在里面，那就要减去一次，不然人数就多了。

不管是在食堂点菜，还是在算数学题，都得注意别“多洗了两次锅”，这就是容斥原理的魅力所在。 你看啊，只要把重复的“洗锅水”给倒掉，剩下的就是纯粹的“菜”。

这事儿吧，说起来挺玄乎，做起来却尤实际上在。